河北中考2026年数学试题解析

迢迢一纸掷云间，远客捎来去年笺
——《来日绮窗》

本来中考这种事情跟我这种老阿姨应该也没什么关系了，如果后面没有接家教、辅导班之类的工作的话，应该是一辈子都不用看中考数学了，再单独在自己的博客解析中考试题多少有点奇怪。不过事情就是这么巧，妹妹成绩不好，辅导的重任落到了我头上，我只好再回头去回顾中考试卷了。

我在大学之前都是不怎么做笔记的，就连高中学得最好的化学，也没有留下多少有用的笔记，仅有寥寥数语。翻出来高中化学的错题本，也多是为了应付老师的任务而写，并没有什么有价值的东西。至于初中数学，当时的我还没有受到中考的当头一棒，更是高傲得不知天地为何物，自然也不会留下什么笔记了。

不过，人年纪大了，不能再像个小孩一样了，该承担的责任要承担起来。基于辅导妹妹的需要，我打算先把近几年的中考题限时刷一遍。

本套试题耗时1小时40分钟，得分112.

选择题

计算： $a+a+b+b=$
A. $2ab$
B. $2a+2b$
C. $a^2b^2$
D. $a^2+b^2$

整式加法，送分题，选B.

如图1，点 $P$ 在直线 $AB$ 外，点 $C$ 是直线 $AB$ 上的动点，则 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 的关系一定成立的是
A. $\angle 1>\angle 2$
B. $\angle 1=3\angle 2$
C. $\angle1-\angle2=90^\circ$
D. $\angle1+\angle2=180^\circ$

依旧送分，选D

计算： $\sqrt{30}\times\sqrt{\dfrac{1}{6}}=$
A. $\sqrt{5}$
B. $5$
C. $5\sqrt{6}$
D. $6\sqrt{5}$

二次根式送分题， $\sqrt{30}\times\sqrt{\dfrac{1}{6}}=\sqrt{30\times\dfrac{1}{6}}=\sqrt{5}$ ，选A

河北博物院收藏的错金铜博山炉(如图2-1所示)是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体(如图2-2所示)，则这个几何体的主视图中没有出现的图形是
A. 三角形
B. 矩形
C. 半圆
D. 菱形

几何图形初步+三视图，送分题。圆锥、半球、圆柱在图中的主视图分别为三角形、半圆、矩形，没有出现菱形，故选D.
题外话，“数学文化”题，也就是像这种给了一大堆对解题似乎没什么用的背景材料的题，多数是故弄玄虚吓唬人；但也不能一概而论，比如2026年高考的那个一百零八塔就很恶心。

嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色，如图3，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类，用6g红色颜料和4g黄色颜料调配出的颜色属于
A. ①类
B. ②类
C. ③类
D. ④类

送分题，易得红颜料占比为 $\dfrac{6}{6+4}\times100\%=60\%,50\%<60\%<75\%$ ，故选C.

计算： $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-x}=$
A. $\dfrac{x-1}{x}$
B. $\dfrac{1-x}{x}$
C. $\dfrac{(x-1)^2}{x}$
D. $\dfrac{x+1}{x}$

分式计算， $\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-x}=\dfrac{x^2}{x^2-x}-\dfrac{2x-1}{x^2-x}=\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-x}=\dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)}=\dfrac{x-1}{x}$ ，故选A

如图4，将一个边长为 $a$ 的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形的周长之和比原正方形的周长多48，则 $a$ 的值为
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16

送分题，只需要瞪眼看出剪切后多了几个边长即可。水平方向切了两刀，多出来4个 $a$ ，垂直方向切了 1 刀，多出来 2 个 $a$ ，合计多出来的是 $6a=48$ ，解得 $a=8$ ，故选B.

掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1 到 6 的点数），若向上一面的点数之和为 2 的概率与点数之和为 $n$ 的概率相等，则 $n=$
A. 3
B. 4
C. 11
D. 12

注意到只有两个骰子的点数均为 1 这一种情况（基本事件(1,1)）可以导致点数之和为 2，因此点数之和为 12 的这种情况（两个骰子均为6）与点数之和为 2 的概率相等，故选D.
这是小题，所以可以瞪眼解题。如果是大题，还是要老老实实的列表算概率。
初中的统计概率模块没什么存在感，因为确实没什么可以出难题的知识点，不像高中那样。高考的概率是可以出到压轴题的，不仅是概率统计，就连必修1的集合、函数都能出压轴题，2026的函数大题就压死一大片考生，上世纪甚至有复数大题。
但是不能因为“没有存在感”就在中考复习的时候抛弃这部分内容，一轮的时候最好还是全面扫描一下，尤其是什么树状图、列表法之类的“冷门考点”，比如2016年河北中考就出过概率大题，而且要求用列表法。如果一轮的时候没注意，那可真就白给了。

如图5，在四边形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC,BC=3AD$ ，过点 $A$ 作 $AE\parallel DC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，将 $\triangle ABE$ 沿 $AE$ 翻折，得到 $\triangle AB'E. B'A,B'E$ 分别与直线 $DC$ 交于 $M,N$ 两点，则 $\triangle MB'N$ 与 $\triangle ABE$ 的面积之比为
A. $\dfrac{1}{2}$
B. $\dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{4}$
D. $\dfrac{1}{8}$

直线 $CD$ 平行于 $\triangle B'AE$ 的底边 $AE$ 截得 $\triangle B'MN$ ，易得 $\triangle B'MN \sim \triangle B'AE$ . 现在的任务就是求相似比.
~~根据瞪眼法可得相似比为0.5~~ $\because AD\parallel BC,AE\parallel CD,\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形 $\therefore CE=AD$
$\because BC=3AD,\therefore BE=B'E=BC-CE=2CE$
由折叠可知 $\angle BEA=\angle B'EA$ ，根据 $AE\parallel DC$ 可得 $\angle C=\angle BEA=\angle B'EA=\angle CNE$ .
$\because \angle CNE=\angle C,\therefore\triangle ECN$ 是等腰三角形，即 $EN=EC$ ， $\therefore B'N=B'E-EN=CN,\therefore \dfrac{B'N}{B'E}=\dfrac{1}{2}$
由于相似比为 $\dfrac{1}{2}$ ，易得面积比为 $\dfrac{1}{4}$ ，故选C.

如图6，在 $\odot O$ 中， $\overset{\frown}{ACB}$ 所对的圆心角为 $150^\circ$ ，点 $D$ 在 $\overset{\frown}{AC}$ 上. 若 $\angle CBO=n^\circ$ ，则 $\angle ADC=$
A. $90^\circ + n^\circ$
B. $180^\circ - n^\circ$
C. $195^\circ - n^\circ$
D. $2n^\circ$

连接 $OD,OC$ ，由于 $OA,OD,OC,OB$ 都是 $\odot O$ 的半径，易得 $\triangle OAD,\triangle OCD,\triangle OBC$ 分别是以 $AD,CD,BC$ 为底的等腰三角形.
$\because \triangle OBC$ 是等腰三角形， $\therefore \angle OBC=\angle OCB=n^\circ,\therefore\angle BOC=180^\circ-\angle OBC-\angle OCB=180^\circ-2n^\circ$
$\therefore \angle AOC=\angle AOB-\angle BOC=2n^\circ-30^\circ$
由于四边形内角和为 $360^\circ$ ，有 $\angle DAO+\angle ADO+\angle CDO+\angle OCD+\angle AOC=360^\circ$
又 $\because \triangle AOD,\triangle COD$ 分别为以 $AD,CD$ 为底边的等腰三角形， $\therefore \angle DAO=\angle ADO,\angle ODC=\angle OCD$
即 $2(\angle ADO+\angle CDO)+\angle AOC=2\angle ADC+\angle AOC=360^\circ$ ，代入 $\angle AOC=2n^\circ-30^\circ$ 解得 $\angle ADC=195^\circ-n^\circ$ ，故选C

平面直角坐标系中有 $A(1,n),B(m,6),C(m,n)$ 三点，若直线 $AB$ 经过原点，则点 $C$ 一定在
A. 函数 $y=\dfrac{1}{6}x$ 的图象上
B. 函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象上
C. 函数 $y=-x+5$ 的图象上
D. 函数 $y=6x$ 的图象上

直线 $AB$ 经过原点，是正比例函数，则有 $\dfrac{n}{1}=\dfrac{6}{m}$ ，即 $mn=6$ ，因此 $C$ 的坐标满足反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$ 的图象，故选B.

如图7，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为 $m,n$ ，则 $m-n=$
A. $\dfrac{1}{8}$
B. $\dfrac{1}{10}$
C. $\dfrac{1}{12}$
D. $0$

填空题

计算： $4--6=\underline{\hspace{4em}}$ .

送分题， $4--6=4+6=10$

某楼梯装有护栏，其侧面如图8所示，其中 $AB\parallel CD$ ， $BD\perp DE$ 于点 $D$ ， $AC\perp DE$ 于点 $E$ ，若 $\angle BAC=60^\circ,AB=4$ m，则 $CE=\underline{\hspace{4em}}$ m.

$\because BD\perp DE,AC\perp DE,\therefore \angle BDE=\angle E=90^\circ$ ，即 $\angle E+\angle BDE=180^\circ,\therefore BD\parallel AE$
$\because AB\parallel CD,BD\parallel AE,\therefore$ 四边形 $ABDC$ 是平行四边形
$\therefore CD=AB=4$
$\because AB\parallel CD,\therefore \angle DCE=\angle A=60^\circ$
根据特殊锐角三角函数值可得 $\dfrac{CE}{CD}=\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ ，解得 $CE=2$

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\dfrac{1}{4}x+m=0$ 有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则 $m=\underline{\hspace{4em}}$ .

恭喜韦达定理、垂径定理等定理光荣转正！
设方程的两个根分别为 $x_1,x_2$ ，不妨设 $x_2=x_1^2$ .
根据韦达定理有 $x_1+x_2=-\dfrac{1}{4},x_1x_2=m$
将 $x_2=x_1^2$ 代入 $x_1+x_2=-\dfrac{1}{4}$ 可得 $x_1^2+x_1+\dfrac{1}{4}=0$ ，解得二重根 $x_1=-\dfrac{1}{2}$ ，即 $x_2=x_1^2=\dfrac{1}{4}$
因此 $m=x_1x_2=-\dfrac{1}{8}$

一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地. 该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如 A→D→B→C→A. 若图9中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为 $\underline{\hspace{4em}}$ 百元.

解答题

（7分）

（1）解方程： $3x=12+x$ ；
（2）解不等式： $x-3>\dfrac{x-1}{2}$ .

原来26题的时候是没有这种直白的计算题的，跟高考不一样，题量减少反而更简单了……
（1）移项得 $2x=12$ ，同除 $2$ 解得 $x=6$
（2）去分母得 $2x-6>x-1$ ，移项得 $x>5$ ，故解集为 $x>5$

（8分）
用运算律或乘法公式可以简化运算，例如：
$98^2=98^2-2^2+2^2$
$\hspace{2em}=(98+2)\times(98-2)+2^2$
$\hspace{2em}=100\times96+4$
$\hspace{2em}=9604$ .

（1）证明： $a^2=(a+b)(a-b)+b^2$ ，并用以上方法计算 $99^2$ ；
（2）计算： $(-105)^2$ .

这个题的定位应该是原来26题模式的T20，第一道大题。不过原来的20题还是要在考察运算的基础上搞点花招，比如改错、数轴之类的，这个题相较于原来的T20还是略有削弱。
（1）证明：根据平方差公式有 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ ，等号右边 $= a^2-b^2+b^2=a^2=$ 等号左边，原命题得证.
$99^2=99^2-1^2+1^2=(99+1)\times(99-1)+1^2=100\times98+1=9801$ .
（2） $(-105)^2=(-105)^2-5^2+5^2=(-105+5)\times(-105-5)+25=(-100)\times(-110)+25=11000+25=11025$ .
虽然第二问没有明确要求你用题目给的公式，但是保险起见最好还是用这个公式算，谁知道阅卷的时候会制定什么奇葩标准呢……在这种简单题上面栽跟头太不值得了。

（8分）

（1）尺规作图：如图10-1，在 $\triangle ABC$ 中，作出 $AB$ 边的垂直平分线 $l$ ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图10-2，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle BAC=2\angle B$ ，点 $D$ 在 $BC$ 边上，且 $DA=DB$ . 若 $AC=6,BC=9$ ，求线段 $CD$ 的长.

（1）中垂线应该是基本作图了，这里就不再赘述了。
（2） $\because DA=BD,\therefore \triangle DAB$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形， $\therefore \angle B=\angle BAD$
$\because \angle BAC=2\angle B,\therefore \angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=\angle B$
在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DAC$ 中， $\angle DAC=\angle B,\angle C=\angle C$ ， $\therefore \triangle ABC\sim \triangle DAC,\therefore \dfrac{AC}{BC}=\dfrac{CD}{AC}$ ，解得 $CD=4$
刚考完的时候有人说这个题难，可能是因为相似放到了比较靠前的位置，有些出其不意。但实际上不管是课标也好，考试说明（似乎现在没有了）也好，中高考从来没有规定过哪个题号绑定哪个题型。初三学的二次函数、相似也可能放到前面简单的大题去考，高考的导数大题也可能在靠前的位置（比如2023新高考一卷导数大题）。困难的知识点不一定绑定难题，所以不要因为某个知识点经常出难题就直接放掉，一点都不接触、不学习。有些高中因为导数大题很难就不讲导数，我认为这是对学生极其不负责任的做法。

（8分）
（9分）

选择题 ​

填空题 ​

解答题 ​

选择题

填空题

解答题