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《概率论与数理统计A》2023年试题解析

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数学学习考试吉林大学概率论

选择题 ​

  1. 设随机变量 XX 的分布函数为

    F(x)={0,x<0,12,0≤x<1,1−e−x,x≥1.F(x)=\begin{equation*} \begin{cases} 0,&x< 0, \\ \dfrac{1}{2},&0\le x< 1, \\ 1-\mathrm{e}^{-x},&x\ge 1. \end{cases} \end{equation*}

    则 P{X=1}=P\{X=1\}=

    A. 00

    B. 12\dfrac{1}{2}

    C. 12−e−1\dfrac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}

    D. 1−e−11-\mathrm{e}^{-1}

这是一个离散型和随机型混合的分布函数. 分布函数是右连续的，F(1)=1−e−1,F(1−)=12F(1)=1-\mathrm{e}^{-1},F(1^-)=\dfrac{1}{2}，因此 P{X=1}=F(1)−F(1−)=12−e−1P\{X=1\}=F(1)-F(1^-)=\dfrac{1}{2}-\mathrm{e}^{-1}，故选C.

  1. 设随机变量 XX 服从正态分布 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)，密度函数为 f(x)f(x)，且 f(1)=1f(1)=1，P{X≥1}=12P\{X\ge1\}=\dfrac{1}{2}，则

    A. μ=1,σ2=1\mu=1,\sigma^2=1

    B. μ=1,σ2=12π\mu=1,\sigma^2=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}

    C. μ=1,σ2=12π\mu=1,\sigma^2=\dfrac{1}{2\pi}

    D. μ=0,σ2=1\mu=0,\sigma^2=1

考察正态分布概率密度函数图像的性质. 根据概率密度曲线的对称性和 P{X≥1}=12P\{X\ge 1\}=\dfrac{1}{2} 可得图像的对称轴是 x=1x=1，即 μ=1\mu=1，排除D项.

概率密度曲线在对称轴 x=μx=\mu 处取得最大值 12πσ=1\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}=1，解得 σ=12π\sigma=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}，即 σ2=12π\sigma^2=\dfrac{1}{2\pi}，故选C.

  1. 若随机变量 XX 与 YY 满足 Y=1−X2Y=1-\dfrac{X}{2}，且 D(X)=2D(X)=2，则 Cov(X,Y)=\text{Cov}(X,Y)=

    A. 11

    B. 22

    C. −1-1

    D. −2-2

随机变量 X,YX,Y 的分布都未知，只有 D(X)D(X) 这一个数据可利用，因此根据 Cov(X,X)=D(X)\text{Cov}(X,X)=D(X) 转化为关于 D(X)D(X) 的表达式. Cov(X,Y)=Cov(X,1−X2)=E(X−X22)−E(X)E(1−X2)=E(X)−12E(X2)−E(X)+12E(X)2=−12D(X)=−1\text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(X,1-\dfrac{X}{2})=E(X-\dfrac{X^2}{2})-E(X)E(1-\dfrac{X}{2})=E(X)-\dfrac{1}{2}E(X^2)-E(X)+\dfrac{1}{2}E(X)^2=-\dfrac{1}{2}D(X)=-1.

故选C.

  1. 设两个相互独立的随机变量 XX 和 YY 分别服从正态分布 N(0,1)N(0,1) 和 N(1,1)N(1,1)，则

    A. P{X+Y≤1}=12P\{X+Y\le 1\}=\dfrac{1}{2}

    B. P{X−Y≤1}=12P\{X-Y\le 1\}=\dfrac{1}{2}

    C. P{X+Y≤0}=12P\{X+Y\le 0\}=\dfrac{1}{2}

    D. P{X−Y≤0}=12P\{X-Y\le 0\}=\dfrac{1}{2}

根据随机变量 XX 和 YY 相互独立且服从正态分布，可得 X+Y∼N(1,2),X−Y∼N(−1,2)X+Y\sim N(1,2),X-Y\sim N(-1,2)（教材P96），因此 X+YX+Y 的均值为 11，X−YX-Y 的均值为 −1-1，根据正态分布曲线的对称性可得A选项正确.

  1. 设 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 为总体 N(1,22)N(1,2^2) 的一个样本，Xˉ\bar{X} 为样本均值，则下列结论正确的是

    A. Xˉ−12/n∼t(n)\dfrac{\bar{X}-1}{2/\sqrt{n}}\sim t(n)

    B. 14∑i=1n(Xi−1)2∼F(n,1)\dfrac{1}{4}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-1)^2\sim F(n,1)

    C. Xˉ−12/n∼N(0,1)\dfrac{\bar{X}-1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}}\sim N(0,1)

    D. 14∑i=1n(Xi−1)2∼χ2(n)\dfrac{1}{4}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-1)^2\sim \chi^2(n)

  2. 设 X1,X2X_1,X_2 为来自总体 N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) 的样本，若 aX1+12023X2aX_1+\dfrac{1}{2023}X_2 为 μ\mu 的一个无偏估计，则常数 a=a=

    A. 12023\dfrac{1}{2023}

    B. −12023-\dfrac{1}{2023}

    C. 20222023\dfrac{2022}{2023}

    D. −20222023-\dfrac{2022}{2023}

填空题 ​

  1. 已知 P(A)=12,P(B∣A)=13,P(A∣B)=12P(A)=\dfrac{1}{2},P(B|A)=\dfrac{1}{3},P(A|B)=\dfrac{1}{2}，概率 P(A∪B)=‾P(A\cup B)=\underline{\hspace{4em}}.

  2. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立，具有相同的分布律

    XX01
    PP0.40.6

    则 max⁡(X,Y)\max(X,Y) 的分布律为 ‾\underline{\hspace{4em}}.

  3. 设随机变量 XX 的概率密度为

    f(x)={12cos⁡x2,0≤x≤π,0,其他.f(x)=\begin{equation*} \begin{cases} \dfrac{1}{2}\cos\dfrac{x}{2},&0\le x\le \pi, \\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \end{equation*}

    对 XX 独立重复地观察4次，用 YY 表示观察值大于 π3\dfrac{\pi}{3} 的次数，则 E(Y2)=‾E(Y^2)=\underline{\hspace{4em}}.

  4. 设在每次试验中，事件 AA 发生的概率是0.80.8，用 XX 表示 10001000 次独立试验中事件 AA 发生的次数，根据切比雪夫不等式，有 P{760<X<840}=‾P\{760<X<840\}=\underline{\hspace{4em}}.

  5. 设总体 X∼N(μ,32)X\sim N(\mu,3^2)，要使未知参数 μ\mu 的置信区间的长度 L≤2L\le 2，样本容量 nn 至少为 ‾\underline{\hspace{4em}}.

  6. 设 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 是来自总体 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2) 的样本，若 σ2\sigma^2 未知， Xˉ\bar{X} 和 S2S^2 分别为样本均值和样本方差，检验假设为 H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\neq\mu_0，则应取检验统计量为 ‾\underline{\hspace{4em}}.

解答题 ​

  1. （8分）已知 9 支手枪中有 6 支已校准过，3 支未校准。一名射手如果用校准过的手枪射击，命中率为 0.9，如果用未校准过的手枪射击，命中率为 0.3。现从这 9 支手枪中任取一支射击。求：
  • （1）他能命中目标的概率；
  • （2）如果他命中目标，则所用的手枪是校准过的概率.
  1. （8分）设连续型随机变量 XX 的概率密度为

    f(x)={x,0≤x<1,k(2−x),1≤x<2,0,其他.f(x)=\begin{equation*} \begin{cases} x,&0\le x< 1, \\ k(2-x),&1\le x< 2, \\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \end{equation*}

    求：
  • （1）kk 的值；
  • （2）随机变量 XX 落在 (1,3)(1,3) 内的概率；
  • （3）XX 的分布函数.
  1. （6分）据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命总和大于 1920h 的概率.（Φ(0.8)=0.7881\varPhi(0.8)=0.7881）

  1. （8分）设总体 XX 具有概率分布

    XX123
    PPθ2\theta^22θ(1−θ)2\theta(1-\theta)(1−θ)2(1-\theta)^2

    其中 θ(0<θ<1)\theta(0<\theta<1) 是位置参数，已知来自总体 XX 的样本值为 1,2,1,31,2,1,3. 求 θ\theta 的矩估计值和最大似然估计值.

  1. （6分）设总体 X∼N(μ,σ2),X1,X2,⋯ ,X2n(n≥2)X\sim N(\mu,\sigma^2),X_1,X_2,\cdots,X_{2n}(n\ge 2) 为取自 XX 的样本，其样本均值为

    Xˉ=12n∑i=12nXi\bar{X}=\dfrac{1}{2n}\sum_{i=1}^{2n}X_i

    且

    Y=∑i=1n(Xi+Xn+i−2Xˉ)2Y=\sum_{i=1}^n(X_i+X_{n+i}-2\bar{X})^2

    求 E(Y)E(Y).
  1. （14分）设 AA 和 BB 为两个随机事件，且 P(A)=14,P(B∣A)=13,P(A∣B)=12P(A)=\dfrac{1}{4},P(B|A)=\dfrac{1}{3},P(A|B)=\dfrac{1}{2}，令

    X={1,A发生,0,A不发生,Y={1,B发生,0,B不发生,X=\begin{equation*} \begin{cases} 1,&A\text{发生}, \\ 0,&A\text{不发生}, \\ \end{cases} \end{equation*} Y=\begin{equation*} \begin{cases} 1,&B\text{发生}, \\ 0,&B\text{不发生}, \\ \end{cases} \end{equation*}

    求 XX 与 YY 的联合概率分布和 Z=X2+Y2Z=X^2+Y^2 的概率分布.
  1. （14分）已知二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的概率密度为

    f(x,y)={ke−(2x+y),x>0,y>0,0,其他.f(x,y)=\begin{equation*} \begin{cases} k\mathrm{e}^{-(2x+y)},&x>0,y>0, \\ 0,&\text{其他}. \end{cases} \end{equation*}

  • （1）求系数 kk；
  • （2）求条件概率密度 fX∣Y(x∣y)f_{X|Y}(x|y)；
  • （3）判断 XX 和 YY 是否相互独立；
  • （4）计算概率 P{X<2∣Y<1}P\{X<2|Y<1\}.
《概率论与数理统计》复习笔记（下）
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