2025-2026学年 “迎期末·庆六一” 微积分A2信心卷

温馨提示：本试卷纯属整活，请勿用于期末考试复习. ​

本试卷共3页，19题，考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将他人的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号擦干净。回答非选择题时，将答案写在草稿纸上，写在答题卡和本试卷上无效。
3. 考试结束后，将试卷和答题卡一并扔到监考老师脸上。

一、选择题 ​

本大题共6个小题，每题3分，共18分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.

1. 马鞍面曲面的形状为

   A. 球体

   B. 正方体

   C. 马鞍

   D. 椭圆

2. 半圆面 $x^2+y^2< 4(y\le 0)$ 绕 $x$ 轴转过半周，所成旋转体的体积为

   A. 棍木

   B. $\dfrac{16\pi}{3}$

   C. ${-1}$

   D. $\mathrm{i}$

3. $z=x^2+y^2$ 在 $\R^2$ 上的最小值为

   A. $114514$

   B. $7891$

   C. $0$

   D. 棍木

4. 下列二重积分符号，书写正确的是

   A. $\iint$

   B. $\int$

   C. $\oint$

   D. $\iiint$

5. $u_x(x_0,y_0,z_0)\mathbf{i}+u_y(x_0,y_0,z_0)\mathbf{j}+u_z(z_0,y_0,z_0)\mathbf{k}$ 是 $u=x^2+y^2+z^2$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的

   A. 温度

   B. 湿度

   C. 电阻

   D. 梯度

6. 已知平面 $A$ 的法向量是 $(1,1,4)$，且经过点 $(5,1,4)$，则平面 $A$ 的方程是

   A. $z=4x^2+9y^2$

   B. $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{4}+\dfrac{z^2}{9}=1$

   C. $x+y+4z=22$

   D. $z=\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}$

二、填空题 ​

本大题共6个小题，每题3分，共18分.

7. 已知 $f=\mathrm{e}^{2x\sin {y\cos{(z\ln u)}}}$，则 $\dfrac{\partial^7 f(x,y,z,u)}{\partial x^3 \partial y \partial z^2 \partial u}$ 的阶数为 $\underline{\hspace{4cm}}$.

8. 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1$，则双曲线 $C$ 的焦点个数为$\underline{\hspace{4cm}}$.

9. 抛物线 $y^2=16x$ 在第二、三象限部分的长度为$~\underline{\hspace{4cm}}$.

10. 设 $f(x,y)=x+y$，则 $\dfrac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}$ 的值为$~\underline{\hspace{4cm}}$.

11. 计算： $\int_0^0 e^x\sin3x dx \int _0^0 \dfrac{\cos x}{x} dy=~\underline{\hspace{4cm}}$.

12. 李文亚教授指出：人类的所有疾病都是黑体生物引起的.现在李文亚教授发现自己身上有一个半球形黑体生物，位于 $xOy$ 平面的 $z$ 轴正半轴一侧，占据 $x^2+y^2+z^2<1$ 的区域，黑体生物在 $(x_0,y_0,z_0)$ 点的密度为 $x_0^2+y_0^2+z_0^2$ .若不考虑损耗，则李文亚教授移除此黑体生物后，该黑体生物的质量减少了$~\underline{\hspace{4cm}}$.

三、解答题 ​

本大题共7个小题，共64分. 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.

13. (本小题满分10分) 设 $D=\{(x,y)|0\le x \le 1, 0\le y \le 1\}$，若已知 $f(x,y)=1$，计算二重积分 $\iint \limits_D f(x,y)dxdy$.

14. (本小题满分10分) 求极坐标方程 $r=1$ 所围图形的面积.

15. (本小题满分10分) 已知平面区域 $D=\{(x,y)|x^2+y^2<1\}$.

• (1)求 $D$ 的面积;

• (2)求 $\iint \limits_D x^2-6y dxdy$ 的积分区域和被积函数.

16. (本小题满分10分) 求 $\iint \limits_D x^4+y^4dxdy$，其中 $D=\{(x,y)|x^2+y^2<0\}$.

17. (本小题满分10分) 求 $\iiint \limits_D \ln1 dxdydz$，其中 $x,y,z$ 满足 $x^2+y^2+z^2< 1$.

18. (本小题满分8分) 已知二元函数 $z=f(x+y, x-y)$，且 $f$ 具有二阶连续偏导数.

• (1)求$\dfrac{\partial z}{\partial x}$；

• (2)求$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.

19. (本小题满分6分) 证明：$\ln \dfrac{1}{2} + \ln \dfrac{1}{3} + \dots + \ln \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{\mathrm{e}} \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n} \right)$，其中$n > 1, n \in \mathbb{N}^*$.

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本试卷纯属整活，请勿用于考试复习。